Minimal open sets on generalized topological space

Los espacios topológicos generalizados y los conjuntos abiertos generalizados juegan un papel muy importante en casi todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas, especialmente en la topología general; de hecho, durante la última década más o menos, la investigación se ocupa de las investigaciones de los espacios topológicos generalizados y de varias clases. de tipos generalizados de conjuntos abiertos.

Los conceptos de conjuntos abiertos mínimos y conjuntos cerrados máximos en espacios topológicos fueron introducidos y considerados por Nakaoka y Oda en (6) y (7). Más precisamente, en 2001, Nakaoka y Oda (7) caracterizaron las nociones de conjuntos abiertos mínimos y demostraron que cualquier subconjunto de un conjunto abierto mínimo está preoperado. Además, como aplicación de una teoría de conjuntos abiertos mínimos, obtuvieron una condición suficiente para que un espacio localmente finito fuera un espacio pre-Hausdorff. El propósito de este artículo es presentar una nueva clase de conjuntos abiertos μ llamado conjunto mínimo μ-abierto en topologías generalizadas e investigar algunas de sus propiedades fundamentales y demostrar que cualquier subconjunto de un conjunto abierto mínimo en un GTS (X, μ) es un conjunto de μ-preopen. Finalmente, probamos que este nuevo concepto de conjunto mínimo μ-abierto en topologías generalizadas, generaliza los conceptos de mínimo abierto (7) (respectivamente mínimo γ-abierto (2), mínimo γ-semiopen (3), mínimo I-abierto ( 11), mínimo λc-abierto (5), mínimo Pγ -open (4)) establecido.

Sea X un conjunto no vacío y 2 X denota el conjunto de potencias de X. Entonces μ ⊂ 2 X se denomina topología generalizada (brevemente GT) en X (1) si y solo si ∅ ∈ μ y Gi ∈ μ para i ∈ I ≠ ∅ implica ⋃ i ∈ I Gi ∈ μ. Llamamos al par (X, μ) un espacio topológico generalizado (brevemente GTS). Los elementos de μ se denominan conjuntos μ abiertos y los complementos se denominan conjuntos μ cerrados. El cierre generalizado de un subconjunto A de X, denotado por c μ (A), es la intersección de todos los conjuntos cerrados μ que contienen A, y el interior generalizado de A, denotado por i μ (A), es la unión de todos Conjuntos μ-abiertos contenidos en A. Un subconjunto M de un GTS (X, μ) se denomina conjunto μ-preopen si M ⊂ i μ (c μ (M)). Se observa que una gran cantidad de trabajos están dedicados al estudio de conjuntos μ-abiertos como conjuntos abiertos de espacio topológico, poseyendo propiedades más o menos similares a las de los conjuntos abiertos como podemos mencionar algunos de ellos:

1. si A ⊆ B, entonces c μ (A) ⊆ c μ (B) e i μ (A) ⊆ i μ (B).

2. si U ∈ μ, entonces i μ (U) = U.

3. para cualquier A ⊂ X, c μ (c μ (A)) = c μ (A), A ⊆ c μ (A) yi μ (A) ⊆ A.

4. para cualquier subconjunto A, B de X, c μ (A) ∪ c μ (B) ⊆ c μ (A ∪ B).